Simone正交矩阵的特征值一定是1或-1吗？
的有关信息介绍如下：
不一定。准确的说法是：实正交矩阵的复特征值都在单位圆上；其中落在实轴上的特征值才只能是 或 。
设 是实正交矩阵，满足
把它看成复数域上的矩阵也没有问题。若
由于 的元素都是实数，有 ，所以 。于是
从 得到
若再假定 是实数，那么单位圆与实轴只有两个交点，因此 。题目中的结论，其实少了“实特征值”这个限定。
一个最直接的反例是平面旋转矩阵
它显然满足 ，而特征多项式为
两个特征值是
取 ，特征值就是 和 ，都不是 。从几何上看也很自然：旋转 后，没有哪条实直线还能保持不变，所以在实数域里根本找不到特征向量；把空间复化以后，才出现对应于 的复特征向量。
这件事还可以用实正交矩阵的标准分块看得更清楚。存在实正交矩阵 ，使得
这里的一维块 、 分别表示沿某条直线保持方向或反向；二维块 表示某个二维不变平面上的旋转。因而正交变换的谱由两类组成：实特征值 ，以及成共轭对出现的 。后者的模仍然是 ，但通常不是实数。
证明里有个容易忽略的细节：当特征向量 可能是复向量时，内积必须写成 ，不能用 代替。非零复向量也可能满足 ，例如 。所以从 推导模长不变时，真正起作用的是 为实矩阵，从而 。
顺便可以读出几个常用结论：奇数阶实正交矩阵一定有一个实特征值；若其行列式为 ，则一定有特征值 ，若行列式为 ，则一定有特征值 。此外，如果 还满足 ，也就是同时正交且对称，那么它的特征值全是实数，这时才确实只有 和 。
