特征多项式

特征多项式

特征多项式是线性代数中与方阵相关的多项式，定义为n阶矩阵A的行列式|A−λE|或det(λIₙ−A)，其中E为单位矩阵，λ为未知数 。该多项式在求解常系数线性递推数列时具有关键作用，其生成函数表现为有理分式形式且分母即为特征多项式。该多项式为首一多项式，其根为矩阵的特征值，满足凯莱-哈密顿定理（即f(A)=0） 。

特征多项式在相似变换下保持形式不变，相似矩阵具有相同特征值。根据韦达定理，其n−1次项系数为−tr(A)，常数项为(−1)ⁿ|A|。任意n阶矩阵可通过舒尔引理相似于上三角阵，其特征多项式可由主对角线元素构造 。

该多项式适用于域上矩阵（如实数域、复数域），其定义与基选取无关，由线性变换直接决定。换位公式表明矩阵AB与BA的非零特征值相同 。

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